Mathekalender

Dieser Wettbewerb ist eine Art Adventskalender mit Mathematik-Aufgaben und richtet sich an Schüler ab der 11. Klasse und Erwachsene. Es wird auf der Website allerdings noch auf andere mathematische Adventskalender hingewiesen, die, in vier Abschnitte unterteilt, den Altersbereich von der ersten bis zur neunten Klasse abdecken (der für die erste und zweite Klassenstufe wird zwar nicht erwähnt, ist aber hinter dem Link für die dritte und vierte Klasse ebenfalls zu finden).

Im Mathekalender gibt es wie gehabt jeden Abend eine Aufgabe, bei der man dann eine Lösung auswählen muss. Die Schwierigkeit der Aufgaben und der zur Lösung nötige Aufwand schwankt erfahrungsgemäß etwas. Das heißt, es dürfte fast jeder die eine oder andere Aufgabe hinbekommen, während es schwierig werden dürfte, alle Aufgaben fehlerfrei zu lösen. Falls es Verständnisfragen bei den Aufgaben gibt – und das kommt nach meinen Erfahrungen durchaus gelegentlich vor – kann man diese im zugehörigen Forum stellen. Dort findet man nach kurzer Zeit dann oft entsprechende Klarstellungen der Organisatoren. Nach dem 24. Dezember werden dann die Lösungen bekannt gegeben. Zu gewinnen gibt es hier verschiedenste Preise in diversen Kategorien, mal für einzelne Aufgaben, mal für das Gesamtergebnis … Details gibt es auf der Website.

Dieser mathematische Adventskalender und alle nötigen Information finden sich hier.

Bundeswettbewerb Mathematik 2012

Der Bundeswettbewerb Mathematik ist vielleicht manchen meiner Leser schon bekannt. Gedacht ist er im Wesentlichen für Oberstufenschüler. Sobald die Aufgaben zugänglich sind, kann sich aber natürlich jeder daran versuchen und seine Ergebnisse später selbst mit den Lösungen vergleichen, die nach Abschluss des ersten Runde veröffentlicht werden. Im Gegensatz zum letzten Jahr gibt es zum diesjährigen Bundeswettbewerb Mathematik schon seit einiger Zeit Vorab-Informationen auf der Website des Wettbewerbs, deshalb gebe ich dieses Jahr im Gegensatz zum letzten Jahr keine ausführliche Prognose über den Ablauf des Wettbewerbs ab. Im Internet sind die Aufgaben im Moment noch nicht verfügbar, das wird sich aber wohl in den nächsten Tagen bis Wochen noch ändern jetzt auch schon verfügbar. Wer sich nach der dritten Runde tatsächlich zu den Bundessiegern zählen darf, wird in der Regel als Stipendiat in die Studienstiftung des deutschen Volkes aufgenommen. Die Tatsache, bei einem bekannten Wettbewerb mit deutlich über tausend Teilnehmern unter den Gewinnern zu sein, dürfte aber auch schon etwas wert sein.

Ich wünsche viel Spaß beim Knobeln und eine schöne Adventszeit!

Prinzip

Ein Wettbewerb besteht aus einer Reihe von sehr ähnlichen Problemen (die sich zum Beispiel nur durch einen gegebenen ganzzahligen Wert unterscheiden). Für jede Teilaufgabe kann man eine Lösung eingeben (und auch jederzeit eine bessere nachreichen). Der Wettbewerb ist so konstruiert, dass sich die Lösung relativ einfach überprüfen und bewerten lässt. Für jede Teilaufgabe bekommt derjenige, der die beste Lösung gefunden hat, einen Punkt und diejenigen, die eine weniger gute Lösung haben, entsprechend Teilpunkte. Man kann jederzeit seinen eigenen Punktestand für die Teilaufgaben einsehen, außerdem wird noch die Gesamtpunktzahl ermittelt und danach ein Ranking aller Teilnehmer erstellt, das man ebenfalls einsehen kann.

Im Gegensatz zu den „Al Zimmermann’s Programming Contests“ gibt es bei diesem Wettbewerb (bisher) allerdings nicht viel zu gewinnen.

Der aktuelle Wettbewerb „Orchard Planting“

Zurzeit befasst sich der Wettbewerb mit einer Variante des „Orchard-planting problem“ (beschrieben unter anderem in der englischen Wikipedia) mit vier Bäumen pro Reihe: Es geht hierbei darum auf einer Ebene (Obstgarten, engl. „Orchard“) n Punkte (Bäume) so unterzubringen, dass es möglichst viele Geraden gibt, auf denen sich genau vier Bäume befinden, aber auf keiner Gerade mehr als vier Bäume liegen.

Auf der Website muss dabei für jedes der 50 Teilprobleme (das heißt für jede Anzahl Bäume n von 11 bis 60) eine Liste mit den (ganzzahligen) Koordinaten der Bäume im Garten abgegeben werden, und die Website ermittelt selbst, ob die Lösung gültig ist und wie viele Geraden mit vier Bäumen es darin gibt. Nach der Anzahl der Geraden mit vier Bäumen bemisst sich dann auch die Punktzahl für das Teilproblem: Wenn für das Teilproblem mit 11 Bäumen die maximal abgegebene Anzahl an Geraden mit vier Bäumen bei sechs liegt, bekommt man beispielsweise einen halben Punkt, wenn man wenn man eine Lösung mit drei Geraden auf denen vier Bäumen liegen eingegeben hat. Wenn man für alle Teilaufgaben die beste Lösung hat, kommt man demzufolge auf die Maximalpunktzahl von 50 Punkten (hat im Moment niemand).

Los geht’s!

Wer also Lust hat, in einer Programmiersprache seiner Wahl ein bisschen mit Teilnehmern aus aller Welt um die Wette zu programmieren oder schon seit längerem auf der Suche nach einer Alternative zum „Al Zimmermann’s Programming Contests“ ist, kann sich die offizielle Aufgabenstellung zum „Orchard Planting“-Wettbewerb anschauen und loslegen.

Wer schon einmal viele Formeln in einem Textdokument verwenden wollte (oder vielleicht auch musste) hat wahrscheinlich die Erfahrung gemacht, dass die Formeleditoren von normalen Office-Programmen nicht besonders praktisch zu bedienen sind und das Ergebnis oft ausgesprochen mittelmäßig aussieht.

Eine gute Alternative zu diesen Office-Programmen ist LaTeX (Einer Erweiterung von TeX). In vielen wissenschaftlichen Bereichen, inbesondere in der Mathematik, ist LaTeX das Standardsystem zum Textsatz, sei es für Präsentationen, Hausaufgaben oder wissenschaftliche Publikationen. Eine Stärke dieses Systems ist die Erweiterbarkeit. So gibt es beispielsweise Module für Notensatz, chemische Formeln, pdf-Formulare, verschiedenste Stuktogramme, optimierte Darstellung von Quellcode und vieles mehr. Außerdem ist LaTeX dafür bekannt, dass es ohne viele Korrekturen des Nutzers Dokumente erstellt, die gut lesbar sind und alle wichtigen Regeln der Typografie einhalten.

Allerdings funktioniert LaTeX nicht nach dem WYSIWYG-Prinzip, das heißt der Nutzer schreibt zunächst von Hand LaTeX-Quellcode in eine Textdatei, die dann von LaTeX umgewandelt wird (oft in .pdf-Dateien, es sind aber auch viele andere Ausgabeformate wie zum Beispiel HTML-Seiten möglich). Das Lernen der LaTeX-Syntax kostet erst einmal etwas Zeit, wobei es im Internet viele gute Tutorials (oft auch auf den Seiten von Universitäten) gibt. Eine gute Einführung und Vorlagen für eigene Dokumente (Briefe, Diplomarbeiten …) gibt es unter anderem hier beim Mathematik-Online-Projekt der Universitäten Stuttgart und Ulm. Wenn man einmal eine Funktion nicht kennt, dann findet man über Google in der Regel sehr schnell Hilfe zu entsprechenden Funktionen. Eine gute Übersicht über wichtige Befehle für den Formelsatz gibt es auch in der Wikipedia, die selbst für die Darstellung größerer Formeln LaTeX verwendet. Und wenn man die Syntax einmal beherrscht gehen gerade Formeln sehr viel schneller, als wenn man sie in einem Formeleditor mühsam zusammen klicken muss.

Einen Überblick über verschiedene Verwendungsmöglichkeiten von LaTeX gibt es auch in der englischen Präsentation LaTeX: More Than Just Academic Papers and Theses.

LaTeX ist kostenlose Open-Source-Software und damit auch kostenlos für alle wichtigen Desktop-Betriebssysteme (und nicht nur für die) verfügbar. Für Windows empfiehlt sich beispielsweise MiKTeX, für Linux empfehle ich die Suche im jeweiligen Paketmanager oder bei der Suchmaschine des Vertrauens. Wer einfach nur ein bisschen mit den Mathe-Funktionen von LaTeX spielen möchte, findet im Internet auch diverse Seiten, auf denen man selbst LaTeX-Code eingeben kann, der dann als gerendertes Bild wieder ausgegeben wird – zum Beispiel hier.

So, dann kann ‘s losgehen:

Aufgabe 1

Ja, gut. Die Lösung halt. Beziehungsweise mehrere Varianten, sonst sähe die Seite auch sehr leer aus. Böse Mathematiker hätten einfach „trivial“ hingeschrieben.

Aufgabe 2

Die Lösung der zweiten Aufgabe ist (oder wäre) wohl schon mit etwas mehr Arbeit verbunden gewesen. Wer schon einmal ein bisschen Kombinatorik gemacht hat, sollte sie aber hinbekommen haben. Nett ist, dass in der Lösung noch darauf hingewiesen wird, dass interessantes Wissen zu so genannten „Zeckendorf-Sequenzen“ googlebar ist (vielleicht ist mit „Stichwort“ auch „Fibonaccifolgen“ gemeint, aber das klingt irgendwie bekannter und damit weniger aufregend). Interessant ist, dass unter dem (spannenderen ) Stichwort im Moment bei Google Einträge von genau vier (paarweise verschiedenen) Domains auftreten (vorausgesetzt man setzt es in Anführungszeichen). Und einer dieser Treffer ist – Überraschung – das Lösungsblatt des diesjährigen Bundeswettbewerbs Mathematik. Ich glaube allerdings, dass bald ein neuer Treffer dazu kommt, woran ich dann auch selbst nicht ganz unschuldig bin. Nur hat der Autor des neuen Treffers dann garantiert überhaupt keine Ahnung von „Zeckendorf-Sequenzen“.

Aufgabe 3

Die erste Lösungsmöglichkeit der Geometrie-Aufgabe zeigt, dass man dieses geometrische Problem relativ einfach in ein lineares Gleichungssystem umwandeln konnte, und der Rest dann nur noch ein wenig Rechnerei war. Die „Variante 2“ könnte man wieder als Hinweis auf ein interessantes mathematisches Themengebiet lesen. Mich würde es jedenfalls wundern, wenn Determinanten von Matrizen in irgend einem deutschen Bundesland Schulstoff wären. Ein Fehler ist die Beschäftigung mit diesen Dingern aber sicher nicht, es dürfte kaum einen naturwissenschaftlich-technischen Studenten geben, der um Lineare Algebra längerfristig herum kommt ohne exmatrikuliert zu werden.

Aufgabe 4

Zur letzten Aufgabe fällt mir gerade auch nicht viel ein. „Auch“, weil die Lösungsmöglichkeiten in der Lösung nur zwei Seiten einnehmen (im Vergleich zu beispielsweise fünf Seiten für Aufgabe zwei).

So, das war ‘s dann vermutlich wieder von mir was Beiträge zum Bundeswettbewerb Mathematik 2011 angeht. Der Bundeswettbewerb Mathematik 2012 wird bestimmt wieder Ende des Jahres starten, und wenn ich bis dahin noch blogge, werde ich wahrscheinlich auch wieder meinen Senf dazu geben. Ein paar Anregungen, mit was sich Schüler in der Zwischenzeit beschäftigen können, finden sich ja auch schon in den Lösungen dieses Wettbewerbs . Viel Spaß …

Es gibt sowohl Wissenschaftler, die sich (wissenschaftlich!) mit Liebe auseinandersetzen als auch Humor, der sich im Spannungsfeld von Romantik und Wissenschaft bewegt. Beginnen wir also  – eigentlich nahe liegend – mit ein bisschen Neurowissenschaft und der Antwort auf die Frage, was ein verliebtes Hirn so treibt (auf Englisch, mit TED-Video!).

Auch der Spiegel schreibt gelegentlich über Wissenschaft und Liebe. Oder eben, wie hier, darüber, dass, wenn irgend ein australischer Wissenschaftler eine Formel für das optimale Heiratsalter publiziert (ob er es selbst ernst meint ist wohl nicht überliefert), der Rest der (Medien-?)Welt diese gerne als wissenschaftliches Ergebnis weiterplappert, ohne die Sinnhaftigkeit der Formel zu überprüfen.

Das Mathematik (auch) romantisch sein kann, zeigt dieser schöne Plot einer Funktion in einem Polarkoordinatensystem. Weniger passend zum Valentinstag, aber zeitlos schön (und mathematisch) sind in jedem Fall auch Fraktale. Hier ein paar Links zu besonders schönen Exemplaren. Und romantischer als ein Heiratsantrags-Generator sind sie allemal. Wobei – immerhin lässt sich auch der Textbaustein „Willst du auch Steuern sparen?“ auswählen. Wem das noch nicht pragmatisch genug ist, dem sei ein ganz sachliches Liebeslied von Tim Minchin ans Herz gelegt (Vorsicht, Liebesbriefe besser vor dem Anschauen schreiben!):

In eine ähnliche Kerbe schlägt auch der Macher von xkcd in einem Cartoon, der die Einzigartigkeit einer Beziehung etwas relativiert.

Bei alledem sollte man natürlich nicht vergessen, dass es auch Unterschiede zwischen Wissenschaft und Liebe gibt. So arbeitet dieser Cartoon die Widersprüche zwischen Mathematik und Beziehungen auf.

Randall Munroe (der Macher von xkcd – hatten wir gerade schon ‘mal, ich weiß) hat sich auch schon Gedanken über den Valentinstag aus Sicht eines Wissenschaftlers gemacht. Das Ergebnis ist eher bedrückend. Wobei ihn das Thema der wissenschaftlichen Analyse einer Beziehung irgendwie schon längers verfolgt, hier geht vermutlich etwas besser aus (bis jetzt).

Und zum Abschluss gibt es noch eine nicht ganz ernste Auseinandersetzung mit (verflossener) Liebe in einem Video aus der Serie „Kloß und Spinne“ (Teil 17, wer wirklich alle Gags verstehen will, muss sich die vorhergehenden 16 halt auch ansehen) – Vor allem die Dialoge des Autors Volker Strübing sind genial.

Ich werde die einzelnen Beiträge hier verlinken.

• LaTeX: Das ideale Textsatzsystem für Texte mit vielen Formeln

Mittlerweile sind die Aufgaben der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2011 (BWM) veröffentlicht (mittlerweile ist das Aufgabenblatt auch auf der Website des diesjährigen Bundeswettbewerbs verlinkt).

Über den Ablauf und die Regeln des Bundeswettbewerbs im Zeitraum 2010/2011 habe ich vor kurzem schon etwas geschrieben (hier gibt es gegebenenfalls auch Aktuelles zum laufenden Wettbewerb). Für diejenigen, die sich schon mal mit einem früheren Bundeswettbewerb Mathematik beschäftigt haben: Es hat sich nicht viel geändert. Und auch stilistisch sind sich die Macher des Wettbewerbs 2011 treu geblieben (sowohl auf die Aufgaben selbst als auch auf das Design des Aufgabenblatts bezogen). Trotzdem werde ich hier wieder meine Kommentare zu den Aufgaben der 1. Runde abgeben.

Vorab aber noch ein Hinweis (meine Erfahrungen zeigen leider, dass er nötig ist): Die Lösungen zu der Mehrzahl der Aufgaben des diesjährigen Wettbewerbs kenne auch ich selbst nicht! Bitten um zusätzliche Informationen werden von mir ohne genauere Betrachtung gelöscht, egal wie freundlich oder unfreundlich sie ausfallen.

Jetzt also zu meinen Kommentaren:

Aufgabe 1

Naja, ich zitiere einfach mal meinen Kommentar zur ersten Aufgabe des letztjährigen Bundeswettbewerbs, damit ich nicht versehentlich schon etwas über den Lösungsweg verrate:

Die Aufgabe 1 ist, zumindest was die Aufgabenstellung angeht, einfach und von vielen Schülern wie die Aufgabe 1 aus dem letzten Jahr sicherlich in einer durchschnittlich interessanten Unterrichtsstunde ohne schulische Einbußen auf dem Heftrand lösbar. Man sollte sie eben nur nicht mit der ersten Aufgabe aus dem letzten Jahr verwechseln …

Wer diesen Satz versteht, sollte auch mit der ersten Aufgabe klar kommen!

Was mir gerade noch auffällt: Letztes Jahr kam die Jahreszahl des Wettbewerbs erst in der vierten Aufgabe dran, jetzt geht es gleich mit 2011 Murmeln los. Ich glaube diese Info ist auch für jeden wertlos …

Aufgabe 2

Diese Aufgabe geht in Richtung Kombinatorik und ist etwas anspruchsvoller als die erste Aufgabe. Wer nicht auf einen geeigneten Taschenrechner zum Überschlagen irgendwelcher Zahlenwerte zurückgreifen kann, dem kann ich WolframAlpha für Rechnungen, aber auch zur Kontrolle irgendwelcher Umformungen oder zum Plotten von Funktionen mit Ableitungen etc. sehr empfehlen. Meine Tipps dazu gibt es hier. Aber nicht vergessen: Der Lösungsweg muss gemäß den Teilnahmebedingungen ohne technische Hilfsmittel nachvollziehbar sein.

Nichtmathematiker werden sich bei dieser Aufgabe wahrscheinlich fragen, was mit den Kindern gemacht wurde, damit sie sich Gedanken darüber machen, dass keiner mehr als einen Platz weiter sitzt. Aber vielleicht sollten wir ja wirklich Kinder früh für mathematische Probleme sensibilisieren.

Aufgabe 3

Die obligatorische Geometrieaufgabe – auch wenn sie dieses Mal ganz ohne Zeichnung auskommt. Die richtige Antwort auf die gestellte Frage lässt sich, wie schon bei Aufgabe 1, wieder mit mindestens 50%-iger Sicherheit ohne großes Nachdenken feststellen (also ja oder nein). Die Begründung lässt sich aber wohl nicht ganz so einfach erraten. Wem Bleistift und Papier (und gegebenenfalls größere Mengen Radiergummi) zu unflexibel sind, der kann mit einem Geometrieprogramm wie GEONExT von der Uni Bayreuth in der Grundkonstruktion die Punkte verschieben und zusehen, wie sich dabei irgendwelche Winkelhalbierenden, abhängige Punke (oder was auch immer Sinn macht) verändern. Außerdem hat man dann auch schon eine Skizze, die sich in der Dokumentation der Lösung dieser dritten Aufgabe sinnvoll wiederverwenden lässt.

Aufgabe 4

Die letzte Aufgabe ist nach meiner Einschätzung auch die schwierigste dieses Jahr, auch wenn sie vielleicht auf den ersten Blick wie eine einfache Rechenaufgabe aussieht. Aber wer nur hier bei der vierten Aufgabe nicht weiterkommt, hat grundsätzlich noch die Möglichkeit, trotzdem in die zweite Runde des Wettbewerbs zu kommen. Drei (korrekte) Lösungen reichen ja aus. Nur werden die Aufgaben in der 2. Runde natürlich nicht einfacher …

An dieser Stelle auch noch ein kleiner Tipp: Wer die Formeleditoren von Word und OpenOffice/LibreOffice unpraktisch findet, kann sich LaTeX anschauen. Das produziert sehr schönen Formelsatz (und auch sonst professionell aussehende Textdokumente) und ist in vielen mathematischen Bereichen praktisch Standard. Leider ist es auch nicht ganz einfach zu lernen (man muss wie bei HTML die Befehle kennen). Wer sich das nicht antun will, kann einen grafischen Editor für LaTeX verwenden, ich kann LyX (OpenSource, deutschsprachig und kostenlos) sehr empfehlen.

PS: Schon zum zweiten Mal die Zahl „2011“ …

Fazit

Größere Überraschungen gibt es auch dieses Jahr nicht. Im Gegensatz zu den letzten Jahren gibt es keine Aufgabe, bei der nur eine bereits vorgegebene Aussage bewiesen werden muss (im Sinne von „man zeige, dass …“). Nach meiner Meinung steigt auch dieses Jahr wieder die Schwierigkeit der Aufgaben zum Ende hin an.

Ach ja, noch was: Nach Ablauf der ersten Runde werden normalerweise Musterlösungen auf der Website des Bundeswettbewerbs bereitgestellt. Wer also die Lösungen haben will, ohne sie zu rechnen, muss einfach nur ein paar Monate warten. Wer beim Wettbewerb mitmacht bekommt diese Lösungen erfahrungsgemäß sogar per Post mit den Korrekturergebnissen der ersten Runde.

Ich wünsche allen Teilnehmern des BWM 2011 viel Erfolg!

Der Wettbewerb ist dieses Jahr in drei Altersgruppen eingeteilt. Neben der nach oben offenen Kategorie „ab 10. Klasse“ (also auch für Studenten und ausgewachsene Mathematiker) gibt es noch extra Kalender für die 4. bis 6. und die 7. bis 9. Klasse (mit voraussichtlich entsprechend einfacheren Aufgabenstellungen). Zu gewinnen gibt es diverse Preise, die von unterschiedlichen Sponsoren gestellt werden, darunter unter anderem Computer und Taschenrechner.

Freigeschaltet wird jede Aufgabe im Adventskalender um 18:00 Uhr des jeweiligen Tages und bis 24:00 kann die entsprechende Lösung eingereicht werden. Wenn man die Aufgabe später abschickt und keinen der drei Zeitjoker einsetzt, wird die Stafzeit erfasst. Die genauen Regeln finden sich hier.

Noch ein kleiner Tipp aus meiner Erfahrung: Ein Blick ins Forum des Mathe-Adventskalenders lohnt sich oft, gerade wenn man sich nicht auf Anhieb sicher ist, wie eine Aufgabe zu verstehen ist. Gelegentlich wurden in der Vergangenheit auch die Aufgaben selbst noch um zusätzliche Kommentare ergänzt.

Ich wünsche allen Teilnehmern eine frohe und mathematische Adventszeit.

Aussagen aus Statistiken sind, vor allem dann wenn nur wenige Stichproben ausgewertet werden, immer nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage. Das heißt, dass es tatsächlich gar keinen Unterschied in der Wahrscheinlichkeit geben muss, nur weil sich zwei statistisch erfasste Größen unterscheiden. Wenn zum Beispiel bei der Untersuchung eines neuen Medikaments diejenigen Patienten, die das Medikament bekommen haben, häufiger (oder früher, besser…) geheilt wurden, so kann das auch auf einen Zufall zurück zu führen sein und muss nicht unbeding am Medikament selbst liegen. Der Einfluss zufälliger Schwankungen sinkt dabei mit steigender Anzahl an Patienten, die an der Untersuchung teilgenommen haben. (Dieses Problem ist dabei unabhängig vom Placeboeffekt und tritt natürlich auch bei korrekt durchgeführten Blindstudien auf.)

Daher versucht man bei Statistiken die Irrtumswahrscheinlichkeit der durchgeführten Untersuchungen festzustellen. Meist kann man annehmen, dass die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses einer Statistik einer Normalverteilung entspricht. Damit lässt sich aus der Streuung der Ergebnisse oder theoretischen Überlegungen zur statistischen Verteilung relativ einfach abschätzen, wie hoch die Irrtumswahrscheinlichkeit der Statistik tatsächlich ist, das heißt wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein statistische erfasster Zusammenhang zwischen den erfassten Daten tatsächlich besteht (z.B. das Medikament tatsächlich wirkt).

In der Wissenschaft werden meist Ergebnisse mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von unter 5% erwartet. Trotzdem bleibt immer eine gewisse Wahrscheinlichkeit, dass die Aussage der Statistik falsch ist. Wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit zu hoch ist, muss man unter Umständen mehr Daten erheben (das heißt zum Beispiel mehr Patienten untersuchen).

Weitere Informationen zur statistischen Signifikanz finden sich natürlich auch in der Wikipedia. Und für Freunde von schwarzem Humor und toten Katzen zur Abwechslung mal noch ein passendes Chat-Zitat.

Aktueller Stand: Die Lösungen der 1. Runde wurden veröffentlicht.

Auch wenn der Bundeswettbewerb Mathematik 2010 noch nicht abgeschlossen ist, so gibt es doch schon wieder Interesse am Bundeswettbewerb Mathematik 2011 (BWM 2011). Daher will ich hier mal die Informationen sammeln die es bereits gibt. Darüber hinaus will ich alle weiteren Artikel, die ich über den Bundeswettbewerb Mathematik 2011 in Zukunft schreiben werde, hier verlinken.

Ablauf

Über den Ablauf der Bundeswettbewerbs des Jahres 2011 ist im Moment auf der offiziellen Website noch nichts Aktuelles zu finden inzwischen eine erste Ankündigung auf der offiziellen Website zu finden (auch wenn der Seitentitel im HTML-Header noch, wie der auf der Seite zum letzten Bundeswettbewerb, „BWM – Wettbewerbsablauf 2010“ lautet Nachtrag: Ist mittlerweile korrigiert). Allgemeine und zeitlose Informationen gibt es natürlich auch auf der Website des BWM. Es sieht so aus, als ob es im Wesentlichen beim Konzept der letzten Jahre bleiben wird (das heißt, das Folgende ist im Moment zum Teil reine Spekulation):

• Anfang Dezember (Nachtrag: dieses Jahr offenbar erst nach dem 1. Dezember) werden die Aufgaben der 1. Runde veröffentlicht. Dazu werden sie zum Einen ins Internet gestellt und zum Anderen an Schulen verteilt (manche Mathelehrer verteilen die Aufgaben gezielt an Schüler, denen sie eine erfolgreiche Teilnahme zutrauen, andere weisen auch nur die Klasse darauf hin, dass sie die Aufgaben haben).
• Die Aufgaben des Bundeswettbewerbs Mathematik können dann bis Ende Februar bearbeitet werden (Infos zu den Aufgaben und den Regeln zur Bearbeitung gibt es unten). Dann müssen die Lösungen eingesandt werden und werden korrigiert.
• Im Juni bekommen die Teilnehmer eine Rückmeldung über ihr Ergebnis. Diejenigen, die sich für die zweite Runde qualifiziert haben, erhalten dann neben den Musterlösungen der 1. Runde auch die Aufgaben der 2. Runde (diese Aufgaben werden zunächst nur denjenigen zur Verfügung gestellt, die sich für die zweite Runde qualifiziert haben und erst nach Einsendeschluss veröffentlicht). Ungefähr im gleichen Zeitraum werden die Lösungen der ersten Runde auch für alle zugänglich auf der Website des Bundeswettbewerbs Mathematik veröffentlicht.
• Zur Bearbeitung der 2. Runde haben die Teilnehmer bis Ende August Zeit. Dann werden auch die Lösungen der 2. Runde eingesandt und korrigiert.
• Im Oktober oder November werden die Teilnehmer dann über die Ergebnisse der 2. Runde benachrichtigt und gegebenenfalls zur 3. Runde eingeladen (was aber nur eine überschaubare Minderheit betrifft ).

Aufgabentypen

In den ersten beiden Runden des Bundeswettbewerbs Mathematik gibt es grundsätzlich nur Aufgaben, die mit dem Mathematikwissen aus der gymnasialen Oberstufe (Kollegstufe für alle Bayern) einigermaßen lösbar sein sollten. Allerdings gibt es natürlich gewisse Unterschiede zwischen den Bundesländern, sodass es sich oft lohnt, gezielt nach Sätzen aus dem entsprechenden Mathematikbereich zu recherchieren, wenn man nicht weiterkommt. In der Regel kann man die entsprechenden Aussagen aber mit etwas Aufwand auch selbst beweisen. Beispiele für solche hilfreichen Sätze finden sich meist auch in der Wikipedia (zum Beispiel unter „Kreiswinkel“ oder „Lemma von Bézout“, ich habe beide erst nach Abschluss vergangener Landes- bzw. Bundeswettbewerbe gefunden. Ob und wenn ja in welchen Lehrplänen sie vorkommen, weiß ich allerdings auch nicht.).

Sowohl in der ersten als auch in der zweiten Runde des Wettbewerbs gibt es auf dem jeweiligen Aufgabenblatt Aufgaben aus verschiedenen Bereichen der (Schul-)Mathematik. So ist zum Beispiel in der Regel eine Geometrieaufgabe dabei. Neben Aufgaben, bei denen eine vorgegebene Aussage bewiesen werden muss, muss bei der Mehrzahl der Aufgaben eine Lösung gefunden und deren Richtigkeit gezeigt werden.

Regeln zur Bearbeitung

In der ersten Runde kann noch in Kleingruppen gearbeitet und abgegeben werden, während in der zweiten nur noch Einzelarbeiten zugelassen sind. Natürlich müssen die Aufgaben selbst (das heißt natürlich inbesondere auch nicht durch Foren oder Blogs im Internet) gelöst werden. Zur Teilnahme sollte man Schüler an einer deutschen Schule sein. Die genauen Regelungen finden sich sicherlich wieder auf dem offiziellen Aufgabenblatt (das immer anders aussieht als die archivierten Versionen der Aufgaben).

Kann ich mich auf den Bundeswettbewerb Mathematik 2011 vorbereiten?

Ich würde sagen, man kann sich nicht gezielt auf diesen speziellen Wettbewerb vorbereiten. Aber Übung bei der Lösung ähnlicher Aufgaben schadet sicherlich nichts. Dafür kann ein Blick ins Archiv des Wettbewerbs genauso wie die Teilnahme an anderen Wettbewerben (wie es sie zum Beispiel an manchen Unis gibt) hilfreich sein. Wenn er nicht gleichzeitig stattfinden würde, könnte ich potenziellen Teilnehmern auch noch den Mathe-Adventskalender ans Herz legen (alte Aufgaben und Lösungen lassen sich aber auch hier einsehen).

Deshalb habe ich hier ein paar Beispiele zusammengestellt, die (auf Deutsch) erklären, wie man bestimmte Aufgabentypen mit Wolfram Alpha bequem lösen kann:

Vorsicht: Wolfram Alpha ist grundsätzlich Englisch. Statt des Kommas muss als Dezimaltrennzeichen immer ein Punkt verwendet werden!

Grundrechenarten, Trigonometrie, Wurzeln und Potenzen

Als Symbole für die Grundrechenarten können einfach + , – , *  und / verwendet verwendet werden. Potenzen lassen sich in der Form e^x eingeben, Quadratwurzeln als sqrt(144) schreiben. Trigonometrische Funktionen heißen wenig überraschend sin(x), cos(x) , arcsin u.s.w., wobei Eingaben in Grad auch mit dem Grad-Zeichen gekennzeichnet werden sollten (links oben auf jeder normalen Tastatur). Wie bei den meisten Rechnern empfiehlt es sich auch hier, lieber ein paar Klammern zu viel als eine zu wenig zu setzen. Normalerweise zeigt Wolfram alpha auch noch einmal sauber dargestellt an, wie es die Eingabe interpretiert hat.

Dazu braucht jetzt niemand ein Beispiel, oder? (Ich höre niemanden …)

Nachtrag: mathematisches Runden (im Zweifel zur nächsten Geraden Zahl) geht mir „round(x)“, Abrunden funktioniert mit „floor(x)“ und Aufrunden mit „ceil(x)“. Und für das Rechnen mit komplexen Zahlen ist eventuell auch noch das komplex konjugierte einer Zahl nützlich, man erhält es mit „conjugate(2+2i)“. Auch mit Summen kann Wolfram Alpha selbstverständlich rechnen, unter anderem funktioniert folgende Darstellung: „sum 2^-j, j=1 to infinity“.

Und falls jemand einen Binomialkoeffizienten berechnet haben  möchte: 6 über 3 lässt sich sinnigerweise mit „binomial(6,3)“ berechnen.

Lösen von Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssystemen

Zum Auflösen einer Gleichung nach einer Unbekannten schreibt man am einfachsten “solve” gefolgt von der Gleichung und hängt hinten an die Gleichung noch mit „for“ an, nach welcher Variable aufgelöst werden soll (z.B. „solve a^2+4ab+b^2=1 for a“). Das Lösen von Ungleichungen funktioniert entsprechend, wobei zweidimensionale Ungleichungen sogar gelegentlich recht ansprechende Schaubilder produzieren.

Zum Lösen von Gleichungssystemen können die Gleichungen mit Kommata getrennt hintereinander geschrieben werden: „solve W=m*c^2,m=M/sqrt(1-v^2/c^2) for M“

Plotten von Funktionen

Um die Schaubilder von einer oder mehreren Funktionen zu erhalten scheibt man „plot“, dann die Funktionen (gegebenenfalls durch ein Komma getrennt) und falls gewünscht noch eine Begrenzung des Zeichenbereichs: “plot x^2,sin(5x^2)*x^2,x=0..3,y=0..5“.

Konstanten und Einheiten

Die elementaren mathematischen Konstanten werden normalerweise erkannt, wenn man einfach nur e, i (imaginäre Zahl) oder pi schreibt. Mit komplexen Zahlen rechnet Wolfram Alpha im Übrigen anstandslos. Für Unendlich schreibt man einfach „infinity“. Physikalische Konstanten lassen sich in der Regel mit zwei Worten beschreiben. Die Elementarladung etwa lässt sich mit „elementary charge“ oder auch „charge electron“ abfragen. Massen lassen sich entsprechend mit „mass proton“ oder Ähnlichem abfragen.

Bei Einheiten gilt im Zweifelsfall: Wenn die Abkürzung nicht erkannt wird, einfach die volle Bezeichnung verwenden.

Grenzwertbetrachtung

Den Grenzwert einer Funktion (Limes) erhält man am einfachsten mit der Form „lim e^-x as x->infinity“. Einseitige Grenzwerte lassen sich durch ein angehängtes + oder – kennzeichnen (auch wenn Wolfram Alpha trotzdem noch auf das “limit from opposite direction” hinweist).

Integrale und Ableitungen

Natürlich beherrscht Wolfram Alpha auch Differentialrechnung. Einfache Ableitungen funktionieren mit „derivative x^2“. Mehrfache Ableitungen funktionieren zum Beispiel mit „4th derivative x^5“, aber auch die Schreibweise „d^4(x^5)/dx^4“ ist zulässig.

Stammfunktionen (das heißt unbestimmte Integrale) lassen sich folgendermaßen berechnen: „integrate e^(ax) dx“. Bei bestimmten Integralen wird noch „from“ und „to“ angehängt: „integrate e^(ax) dx from 0 to a“.

Selbst die Lösung Differenzialgleichungen lässt sich berechnen, aber ich schaffe es im Moment nur durch die Eingabe der „nackten“ Gleichung „1/(R*C)=-d(f(t))/dt/f(t)“.

Vektoren und Matrizen

Vektoren werden in Wolfram Alpha mit geschweiften Klammern geschrieben, wobei die einzelnen Komponenten durch Kommata getrennt werden. Das Kreuzprodukt wird durch „*“ dargestellt, für das Skalarprodukt schreibt man die beiden Vektoren einfach direkt hintereinander. Die Länge eines Vektors erhält man beispielsweise mit „norm({1,1,0})“.

Matrizen werden grundsätzlich aus ihren Zeilenvektoren, die wiederum von Kommata getrennt in geschweifte Klammern geschrieben werden, zusammen gesetzt. Eine transponierte Matrix erhält man in Wolfram Alpha mit „transpose()“. Das Ganze sieht dann beispielsweise so aus: „{{0,1},{1,0}}*transpose{{x,y}}=transpose{{1,2}}“.

Weiteres

Da sich Wolfram Alpha weniger um strenge Syntax als um eine intuitive Interpretation bemüht, hilft im Zweifelsfall manchmal auch ein wenig ausprobieren. Oft bringt auch schon die Eingabe einer Formel/Gleichung o.ä. ohne weitere Anweisungen das Ergebnis.

Auch ein Blick auf die offiziellen Beispiele für die Verwendung von Wolfram Alpha (nicht nur für mathematische Anwendungen) ist oft hilfreich.

Falls das oben eingebettete Video nicht funktioniert, gibt es das Video natürlich auch direkt bei TED.

Im Aufgaben und Lösungsarchiv des Bundeswettbewerbs Mathematik wurde jetzt die Lösungen für die erste Runde des BWM 2010 in der vorläufigen endgültigen Fassung veröffentlicht (die Aufgaben stehen auch noch einmal dabei, es muss keiner im Archiv graben). Nachdem ich nach dem Erscheinen der Aufgaben einige Hinweise gegeben habe, gibt es hier jetzt meine Kommentare und zum Teil erklärende Hinweise zu den Lösungen:

Aufgabe 1:

Dazu gibt es eigentlich nicht viel zu sagen. Die Lösung beginnt nicht zu Unrecht mit „Es ist offensichtlich […]“ …

Die Variante in Summenschreibweise ist sicherlich weniger anschaulich aber formal klarer (sie argumentiert eben nicht damit, dass es offensichtlich ist sondern zeigt es tatsächlich). Die Umformung ist dabei, vor allem beim abschließenden Ausklammern, eher knapp gehalten. Das könnte auch ein Hinweis darauf sein, dass auch Wettbewerbsteilnehmer durchaus darauf vertrauen dürfen, dass sie nicht jeden Minischritt zu dokumentieren brauchen – zumindest so lange sie sich im Bereich der üblichen Lösungsverfahren bewegen.

Aufgabe 2:

Gerechterweise kann dieses Mal Bernd den Sieg erzwingen (in der zweiten Runde 2009 konnte Anja gewinnen, wenn sie wollte). Die Lösungen der Aufgabe ist wesentlich schöner als das Spielen des Spiels (darüber hatte ich mich nach der Veröffentlichung der Aufgaben amüsiert). Die beiden Beweise sind sich etwas ähnlich, zeigen aber tatsächlich zwei verschiedene Strategien zum Gewinn auf.

Nach dem zweiten Beweis wird noch kurz eine Variante der Aufgabe diskutiert (gerade Anzahl an Stäben). In diesem Fall wäre die Lösung offensichtlich wesentlich einfacher gewesen.

Aufgabe 3:

Auch für die Geometrieaufgabe gibt es natürlich mehrere Lösungsvorschläge (im Prinzip zwei mit jeweils zwei Varianten). Zum Verstehen der Beweise ist es in jedem Fall hilfreich, sich die entsprechenden Skizzen so zurechtzulegen, dass man beim Lesen die Argumentation auch in der Skizze nachvollziehen kann. (Gilt meiner Meinung nach für fast alle geometrischen Beweise, zumindest was Aufgaben für Schüler betrifft).

Allerdings sind die Skizzen – wie letztes Jahr auch – im Wesentlichen schwarzweiß (das heißt bis auf die Umrandung der zweiten Skizze und den Punkt E in beiden Skizzen). Ich denke nach wie vor, dass sich hier durch farbliche Unterscheidung (z.B. klarer Kennzeichnung der Ursprungsfigur etc.) auf einfachem Wege mehr Übersichtlichkeit erreichen ließe.

Aufgabe 4:

Mal abgesehen von einem Zahlendreher (ich denke statt d(n)=2001 müsste es d(n)=2010 heißen, dann stimmt auch der Rest der Rechnung) in der ja noch als vorläufig gekennzeichneten Lösung ist der erste Ansatz ein schönes Beispiel für eine etwas anspruchsvollere vollständige Induktion.

Die zweite Variante für die Lösung dieser Aufgabe ist erstaunlich kompakt (gerade auch im Vergleich zur vorherigen Lösungsvariante) und damit sehr übersichtlich nachvollziehbar. Ich finde, dass dieser Beweis der schönste aus den ersten Runden der letzten Jahre des Bundeswettbewerbs ist. Im Vergleich dazu wirkt die erste Variante dann doch ausgesprochen umständlich …

Ich wünsche allen viel Spaß beim Verstehen der Lösungen und allen die noch dabei sind viel Erfolg in den nächsten Runden.

Sehenswert sind auf jeden Fall die Versuche von Skytopia eine Art dreidimensionales Apfelmännchen zu erzeugen. Der Autor beschreibt hier mit vielen Links und eindrucksvollen Bildern die Suche nach diesem Objekt. Das bisher beste Ergebnis ist sicherlich die Mandelbulb – selbst SPON hat schon über die „Mandelknolle“ geschrieben.

Ein Blogger der sich praktisch ganz der Schönheit verschiedenster Fraktale widmet ist „Fraktale Welten“. Der Blogger versteht es auch, seine Fraktale ansprechend zu präsentieren, sodass sich Unmengen wunderschöner Bilder im Blog finden. Hier ein paar Beispiele. Ganz nebenbei gesagt: Was die Rechte an seinen Bildern angeht, scheint er ausgesprochen fair zu sein, ich spiele noch mit dem Gedanken, neben diesen Absatz ein Bild als Appetithäppchen aufzunehmen. Aber vorbeischauen lohnt sich in jedem Fall.

Natürlich gibt es außer mir auch noch andere, die Java-Progrämmchen zu Fraktalen online stellen, nur ist dort die Auswahl an unterschiedlichen Fraktalen deutlich größer (… aber die Zoomfunktion finde ich nicht so schön ).

Wenig überraschend gibt es auch in der Wikipedia so Allerlei: Begriffliches wie auch Mathematisches zu Fraktalen ganz allgemein und mit diversen Beispielen sowie enge Verwandte der Mandelbrotmenge. Und, auch wenn Fraktale nur eine von vielen Verwendungsmöglichkeiten von komplexen Zahlen sind, will ich hier doch noch einmal ausdrücklich auf den entsprechenden Artikel hinweisen.

Achja, weil man mittlerweile auch mit Lebensmitteln spielen darf noch das hier.

Mandelbrotmenge

Nachdem ich vor kurzem ein sehr primitives Java-Applet mit Erklärung (Quellcode hier) geschrieben habe, mit dem sich das „Apfelmännchen“ (das heißt die Mandelbrotmenge) darstellen lässt, habe ich hier noch ein wesentlich komfortableres und funktionsreicheres Applet geschrieben, mit dem sich die Mandelbrotmenge untersuchen lässt. (Die ganzen Bilder der Mandelbrot-Menge hier im Blog sind auch damit berechnet.)

Ausschnitt der Mandelbrot-Menge

Hier also zunächst das Applet, weiter unten folgen noch einige Tipps zur Bedienung des Programms (die Mathematik der Mandelbrot-Menge wird hier erklärt.) Unter Umständen braucht das Applet einige Sekunden, bis es geladen wurde und startet. Dann kann man damit einfach die verschiedenen Bereiche der Mandelbrot-Menge erkunden und die unterschiedlichsten Muster und Selbstähnlichkeiten dieses Fraktals entdecken.

Verwendung

Ich hoffe eigentlich, dass die Bedienung einigermaßen selbsterklärend ist. Für alle, die Probleme und Fragen haben gibt es unten ein Kommentarfeld (ich behalte mir vor, die Kommentare auch sinngemäß in diesen Beitrag zu kopieren und dort zu antworten). Hier die wichtigsten Funktionen:

Mit der Maus (linke Taste bei normaler Belegung, vermutlich dicke Taste für Mac-Benutzer) lässt sich ein Rahmen aufziehen, in den anschließend mit „Aktualisieren“ (ganz unten breit) gezoomt werden kann – wie der ausgewählte Ausschnitt ins Fenster eingepasst wird, kann dabei oben rechts unter „Einpassen:“ ausgewählt werden. Wer wissen will, wie diese einzelnen Modi den gleichen ausgewählten Bereich in die Anzeigefläche einpassen, probiert es am besten aus. Noch ein kleiner Hinweis: Dort wo mit dem Aufziehen des Rahmens begonnen wird, befindet sich hinterher die linke obere Ecke, das heißt man kann auch nach links und oben ziehen (sieht dann allerdings keinen Rahmen) und so das Apfelmännchen spiegeln. (Für alle, die ihr Koordinatensystem lieber über Kopf aufspannen) Wer wieder von Vorn beginnen möchte kann einfach auf „Zurücksetzen“ und „Aktualisieren“ klicken, dann wird wieder der ursprüngliche Ausschnitt angezeigt.

Im unteren Teil des Programms lässt sich gezielt ein bestimmter Bereich des Apfelmännchens als Zahlenwert angeben. Wenn unten „korrekte Eingabe …“ angezeigt wird, wieder „Aktualisieren“ drücken, dann tut sich auch was …

Wer ein Bild der Mandelbrot-Menge berechnen möchte, das größer oder kleiner ist, als der Ausschnitt, der normalerweise angezeigt wird, kann das Häkchen vor „Folgende Größe verwenden“ setzen und entsprechende Werte einstellen. Werden zu große Werte eingestellt, wird allerdings der Speicherbedarf größer als die Menge an RAM die Java normalen Applets zur Verfügung stellt. Dann schmiert im schlimmsten Fall das Applet ab (praktisch tut es meistens einfach bis zur nächsten Bedienung gar nichts mehr). Wer Erfahrung mit der Konfiguration der JVM hat, kann daran herumspielen und den Zugriff auf mehr Speicherplatz freigeben; alle Anderen werden sich wohl mit Bildern von wenigen Megapixeln zufrieden geben müssen.

„Iterationen“ gibt an, wie viele Folgenglieder berechnet werden, um zu entscheiden, ob ein Punkt tatsächlich zur Mandelbrot-Menge dazu gehört. Ist der Wert sehr niedrig, werden mehr Punkte dazu gezählt (schwarz eingefärbt) als eigentlich dazu gehören, ist er sehr hoch rechnet das Programm eine halbe Ewigkeit (mit sehr hohen Werten und einer zusätzlichen Stoppuhr ist das Programm dann schon fast als Single-Core Java-Benchmark mit Schwerpunkt Fließkomma-Multiplikationen verwendbar).

Im Menü „Ansicht“ kann man zum Einen das Aussehen des Applets hässlicher machen (damit es sich mehr von der Schönheit der Mathematik absetzt), zum Anderen kann man die Koordinaten und die Anzahl der Iterationen teiltransparent rechts unten ins Bild schreiben lassen. Das macht besonders dann Sinn, wenn man das Bild abspeichert – in der aktuellen Version des Applets also eigentlich gar nicht. Aber vielleicht veröffentliche ich mal eine offline-Version in der die Funktion .jpg- oder .png-Dateien zu exportieren auch enthalten ist (Ich hab‘ sie schon ). Durch mehrfaches Einblenden der Informationen reduziert sich die Transparenz.

Wie alle Java-Applets wird dieses Programm auf Ihrem Browser ausgeführt und unterliegt dabei einigen Beschränkungen, damit Java-Applets nicht zum Sicherheitsrisiko für Ihren Computer werden (zum Beispiel sind keine Zugriffe auf Ihre Festplatte möglich – daher gibt es hier auch keine Funktion zum Abspeichern von Bildern). Die Berechnungen werden jedoch komplett auf Ihrem Computer ausgeführt und keine Informationen darüber zurück übertragen. Wenn Sie Ihre Internetverbindung nach dem Laden der Seite trennen, können Sie das Programm bis zum Schließen der Seite weiterverwenden. Wenn Sie viele Iterationen oder eine große Bildgröße ausgewählt haben, hat Ihr Prozessor Einiges zu tun, unter Umständen macht sich das in der Lautstärke des Lüfters bemerkbar.

Vor der Abgabe lohnt es sich auch auf jeden Fall, noch einmal die komplette Rückseite des Aufgabenblatts durchzulesen. Dort gibt es nämlich noch diverse Hinweise zu Papierformaten, Seitenrändern und Formularen.

Ich wünsche allen Teilnehmern viel Erfolg im Wettbewerb!

PS: Die folgenden Runden werde ich nicht mehr kommentieren. Den Bundeswettbewerb Mathematik 2011 vielleicht definitiv wieder (falls Kap’s! Log dann noch lebt).

Wer weniger an der Technik als vielmehr am Herumspielen mit der Mandelbrotmenge interessiert ist, dem kann ich mein aufwändigeres Applet u.a. mit Zoomfunktion empfehlen.

An Mathematik brauchen wir nur die beiden Formeln (1) und (2) aus der Erklärung, die wir wie in der .pdf Datei unter „Wie kann ich das programmieren“ beschrieben berechnen. Hier sind die hier wesentlichen Abschnitte noch einmal als Auszug:

Die Formeln:

x_n+1 = x_n² – y _n² + a
y_n+1 = 2x_ny_n + b

Dies lässt sich nun ohne Kenntnis von komplexen Zahlen berechnen, wenn a und b bekannt sind (x₀ = y₀ = 0).

Die Beschreibung:

Um die Mandelbrot-Menge darstellen zu können, berechnet man für jeden Punkt des Bildes die Folge mit seinen Koordinaten a (üblicherweise nach rechts) und b (nach oben) entsprechend den Gleichungen oben. Dazu setzt man eine maximale Anzahl an Iterationen (das heißt Anzahl an Folgengliedern die berechnet werden) und prüft nach jeder Iteration ob x²+y²>4 ist. Falls ja, ist der Punkt mit den Koordinaten a und b definitiv nicht Teil der Mandelbrot-Menge. Wenn diese Bedingung nach einer bestimmten Anzahl an Iterationen noch nicht erfüllt ist, kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass er Teil der Mandelbrot-Menge ist (je höher die Anzahl der Iterationen desto sicherer das Ergebnis). Die Punkte, die zur Mandelbrot-Menge gehören, werden dann (meist schwarz) eingefärbt.

Dabei muss man aufpassen, dass man bei der Berechnung des zweiten Terms nicht schon mit dem neuen Ergebnis aus der ersten Berechnung arbeitet. Umgesetzt in Java sieht die Funktion zur Berechnung, ob ein Punkt (wahrscheinlich) zur Mandelbrotmenge gehört dann folgendermaßen aus:

/**
 * Hier wird überprüft ob ein Punkt zur Mandelbrotmenge gehört.
 * 
 * @param a Der Realteil der komplexen Zahl
 * @param b Der Imaginärteil der komplexen Zahl
 * @return Gibt an ob ein Punkt Teil der Mandelbrotmenge ist
 */
private boolean isElement(double a, double b) {
    double x = 0, x2, y = 0;
    for (int n = 0; n < 400; n++) {
        x2 = x * x - y * y + a;
        y = 2 * x * y + b;
        x = x2;
        if (x * x + y * y > 4) {
            return false;
        }
    }
    return true;
}

Diese Funktion muss dann nur für jedes Pixel mit den entsprechenden Koordinaten aufgerufen werden und die Punkte im Bild (hier ein java.awt.image.BufferedImage) entsprechend einfärbt werden:

private void renderImage() {
    int w = getWidth(), h = getHeight();
    img = new BufferedImage(w, h, BufferedImage.TYPE_INT_ARGB);
    double a, b;
    int c = new Color(0, 0, 0).getRGB();
 
    for (int i = 0; i < h; i++) {
        b = (double) i * 3 / h - 1.5; //-1,5 <= b < 1,5
        for (int j = 0; j < w; j++) {
            a = (double) j * 3 / w - 2; //-2 <= a < 1
            if (isElement(a, b)) {
                img.setRGB(j, i, c); //schwarz einfärben
            }
        }
    }
}

Eingebaut in ein einfaches Java-Applet zur Anzeige des Bildes (der komplette, mindestens ab Java 5 kompilierbare, Quellcode findet sich hier), sieht das Ganze dann so aus:

Hinweis: In einigen Feed-Readern wird das Applet evtl. nicht angezeigt.

Zoom in eigener Berechnung

Ich hoffe jedoch, dass sich mit solchen, für jedermann schön anzusehenden Fraktalen, auch die Begeisterung für Mathematik wecken lässt. Deshalb habe ich versucht eine, für interessierte Schüler schon in der Mittelstufe verständliche, Einführung zu verfassen. Sie sollte zum Einen als kleine Ergänzung des Schulstoffs im Mathematikunterricht geeignet sein, zum Anderen beschreibt sie aber auch, mit welchen Mitteln die Mandelbrot-Menge berechnet und dargestellt werden kann, ganz ohne dass man sich komplexen Zahlen beschäftigen muss. Damit kann man sich beispielsweise im Informatikunterricht ganz auf den Programmaufbau und das Programmieren konzentrieren.

Der Text ist in mehrere Abschnitte unterteilt: Nach einer kurzen Erklärung der imaginären Einheit wird die Definition der Mandelbrot-Menge angegeben und so umgeformt, dass alles mit reellen Zahlen berechnet werden kann. Dann wird erklärt, wie sich das alles in einem Programm umsetzen lässt (hier gibt es noch eine ausführlichere Erklärung mit Quellcode und lauffähigem Java-Applet). Abschließend gibt es noch Anregungen, welche Verbesserungen am Programm noch vorgenommen werden könnten. Und für alle diejenigen, die die Tiefen der Mandelbrot-Menge einfach selbst erkunden wollen, gibt es von mir noch ein entsprechendes Programm, das im Browser läuft.

Die Erklärung des Apfelmännchens für Schüler kann hier als .pdf-Datei heruntergeladen werden.

Komplette Mandelbrotmenge

Die Mandelbrot-Menge ist ein Fraktal, das oft als das formenreichste geometrische Gebilde überhaupt bezeichnet wird. In die Randbereiche einer Darstellung dieser Menge (oft als „Apfelmännchen“ bezeichnet) kann man beliebig weit hinein zoomen und immer wieder neue, feinere Muster erkennen.

Da auf aktuellen Computern solche Bilder in Sekundenschnelle berechnet werden können, kann auch jeder selbst Fraktale erkunden oder sich mit den mathematischen Grundlagen dieser Gebilde auseinandersetzen.

Randbereich des Apfelmännchens

In der nächsten Zeit möchte ich zu diesem Thema verschiedene Beiträge verfassen, und hoffe, dass ich damit insbesondere Interessierte ohne besondere Fachkenntnisse auf diesem Gebiet für dieses und andere Fraktale begeistern kann.

Meine Beiträge zum Thema:

• Einfache mathematische Einführung (auch für Schüler)
• Anleitung zur Programmierung eines einfachen Java-Applets
• Interaktives Applet zum Erkunden des Fraktals
• Zusätzliche Infos und viele schöne Bilder zur Mandelbrotmenge und ähnlichen Fraktalen auf anderen Websites
• Ein Vortrag vom Entdecker des Apfelmännchens, Benoit Mandelbrot, über Fraktale

Pünktlich „Anfang Dezember“ (genau genommen sogar überpünktlich Ende November) wurden die Aufgaben zur 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2010 veröffentlicht. An den Teilnahmebedingungen scheint sich nicht viel verändert zu haben – auch wenn die Beispiellösung von einer Achtklässlerin stammt wendet sich der Wettbewerb nach wie vor schwerpunktmäßig an OberstufenschülerInnen (einzeln oder in kleinen Gruppen).

Wem das Aufgabenblatt nicht schon von seinem Mathelehrer aufgedrängt wurde, der kann sich die Aufgaben auch von der Website des Bundeswettbewerbs Mathematik (BWM) direkt herunterladen. Wer es in die jeweils nächste Runde geschafft hat, wird dann vermutlich wieder direkt per Post mit den entsprechenden Aufgaben versorgt werden – nebst knappen Kommentaren zur eigenen und ausführlichen Hinweisen zu mindestens einer richtigen Lösung.

Zumindest auf den ersten Blick sehen auch die Aufgaben ähnlich aus wie immer. Ich habe zuerst sogar gedacht, ich hätte das Aufgabenblatt aus dem letzten Jahr erwischt. Hier nun meine ersten Eindrücke zu den Aufgaben – mehrere Aufgabenstellungen erinnern mich mehr oder weniger an andere aus den letzten Jahren (im Archiv der Aufgaben sind jeweils die erste und zweite Runde einsehbar).

Aufgabe 1

Die Aufgabe 1 ist, zumindest was die Aufgabenstellung angeht, einfach und von vielen Schülern wie die Aufgabe 1 aus dem letzten Jahr sicherlich in einer durchschnittlich interessanten Unterrichtsstunde ohne schulische Einbußen auf dem Heftrand lösbar. Man sollte sie eben nur nicht mit der ersten Aufgabe aus dem letzten Jahr verwechseln …

PS: Wer gut mit dem GTR umgehen kann, sollte in der Schulstunde zusätzlich noch ein Programm für Primfaktorzerlegungen auf demselben schreiben können.

Aufgabe 2

Hier spielen, wie in der zweiten Runde des letzten Durchgangs, Anja und Bernd miteinander – die beiden scheinen irgendwie unterbeschäftigt zu sein (Wirtschaftskrise/Kurzarbeit?). Wie dem auch sei, es ist natürlich wieder zu ermitteln wer gewinnt, wenn beide das Spiel wirklich beherrschen (dann brauchen sie es eigentlich auch gar nicht mehr zu spielen – Sie verstehen schon). Interessant ist dieses Mal, dass der Gewinner unabhängig davon ist, wer den letzten Zug ausführen kann (oder muss). Das heißt wenn die beiden in umgekehrter Reihenfolge starten, muss nicht zwangsläufig der/die Andere gewinnen können (wie sich das in diesem Fall verhält, kann man sich dann überlegen, wenn der Rest erledigt ist).

Besonders praktisch ist dieses Spiel allerdings nicht, oder hat jemand Lust Unmengen an extrem unterschiedlich langen Stäben mit sich herum zu schleppen, nur um ein Spiel zu spielen, das im Wesentlichen daraus besteht, ein paar Tage mit dem Messen von Stäbchen zu verbringen?

Aufgabe 3

Die obligatorische Geometrie-Aufgabe: Wie es sich für eine solche gehört besteht sie im Wesentlichen aus Dreiecken und vorgegeben Punkten darin. Wem statische Skizzen zu unflexibel sind, dem kann ich zur Lösungsfindung ein Programm wie GEONExT oder Z.u.L. empfehlen (diese Zeichnung kann dann auch gut für die Darstellung der Lösung verwendet werden).

Aufgabe 4

Die einzige Aufgabe bei der sich mir selbst die Größenordnung der Lösung (keine oder vielleicht unendlich viele Zahlen?) beim ersten Durchlesen der Aufgabe nicht erschließt. Ich vermute, dass diese Aufgabe auch dieses Mal die schwierigste ist. Hoffentlich eine interessante Mischung aus Kombinatorik und ein bisschen Zahlenzerlegen.

Kleiner Trost: drei richtige Lösungen reichen für alles Wesentliche …

PS: In gewissen Grenzen macht der BWM selbst dann süchtig, wenn man nicht besonders erfolgreich abschneidet, aber das merkt man normalerweise erst, wenn man nicht mehr mitmachen darf und stattdessen unnötig lange Beiträge für sein Blog schreibt.

PPS: Auch für diejenigen, die nicht alle Aufgaben selbst heraus bekommen, werden vermutlich, wenn die Runde zu Ende ist, wieder offizielle Lösungen zum Bundeswettbewerb Mathematik 2010 veröffentlicht.