Kapieren statt Auswendiglernen
Mandelbrotmenge
Nachdem ich vor kurzem ein sehr primitives Java-Applet mit Erklärung (Quellcode hier) geschrieben habe, mit dem sich das „Apfelmännchen“ (das heißt die Mandelbrotmenge) darstellen lässt, habe ich hier noch ein wesentlich komfortableres und funktionsreicheres Applet geschrieben, mit dem sich die Mandelbrotmenge untersuchen lässt. (Die ganzen Bilder der Mandelbrot-Menge hier im Blog sind auch damit berechnet.)
Zur Erinnerung: Am 1. März (Datum des Poststempels) ist Einsendeschluss der 1. Runde des Bundeswettbewerbs Mathematik 2010. Es wird also langsam Zeit, die gefundenen Lösungen was Formulierung und Layout betrifft in die endgültige Form zu bringen (anders als bei manchem Lehrer sind ein Drucker, der sich an der Tinte verschluckt hat oder Exkremente des Kanarienvogels auf der Tastatur hier vermutlich keine wirksame Entschuldigung für Verspätungen).
Vor der Abgabe lohnt es sich auch auf jeden Fall, noch einmal die komplette Rückseite des Aufgabenblatts durchzulesen. Dort gibt es nämlich noch diverse Hinweise zu Papierformaten, Seitenrändern und Formularen.
Ich wünsche allen Teilnehmern viel Erfolg im Wettbewerb!
PS: Die folgenden Runden werde ich nicht mehr kommentieren. Den Bundeswettbewerb Mathematik 2011 vielleicht wieder (falls Kap’s! Log dann noch lebt).
Licht, das wir im Alltag sehen, setzt sich meistens aus einer Vielzahl unterschiedlicher Wellenlängen zusammen. Im Wellenlängenbereich den unser Auge wahrnehmen kann (ca. 380 nm bis 760 nm) entspricht jede Wellenlänge einer Farbe. Licht, das aus nur einer Wellenlänge besteht (kommt praktisch fast nur bei Gasentladungslampen und Lasern vor) hat dabei sehr kräftige Farben (Spektralfarben) und wird „monochromatisches Licht“ genannt.
Licht jeder anderen Farbe ist aus verschiedenen Wellenlängen zusammengesetzt. Für die Mischung jeder dieser Farben aus Licht unterschiedlicher Wellenlängen (additive Farbmischung) gibt es im Prinzip beliebig viele Möglichkeiten. Um darzustellen wie eine Farbe zustande kommen kann gibt es eine sogenannte Normfarbtafel.
Wie so eine Farbtafel aussieht sieht man beispielsweise in der Wikipedia. Da die Form ein bisschen an einen Schuh erinnert, wird sie manchmal auch als „Schuhsohle“ bezeichnet.
Auf der Farbtafel sind die monochromatischen Farben als Kurve eingezeichnet, wobei die beiden Enden die Grenzen des sichtbaren Wellenlängenbereichs darstellen. Alle anderen Farben liegen im Inneren dieser Kurve. Wenn man nun zwei monochromatische Lichtstrahlen (entsprechen unterschiedlichen Punkten auf der Kurve) im Verhältnis eins zu eins mischt, dann erhält man genau die Farbe, die auf der Farbtafel in der Mitte zwischen den beiden Punkten liegt. Wenn mehr Licht einer Farbe verwendet wurde, liegt der Punkt auf der Farbtafel entsprechend näher an der entsprechenden Farbe. Natürlich können auf diese Weise auch mehr als zwei Lichtwellenlängen oder Farben gemischt werden.
Eine genauere Beschreibung gibt es in der Wikipedia unter den Stichworten Farbmetrik und Normvalenzsystem.
Licht spielt nicht nur im naturwissenschaftlichen Unterricht sondern auch im Alltag für uns eine wichtige Rolle (die meisten werden diesen Text mithilfe von Licht aufnehmen). Nachdem in der Schule selten wirklich übersichtlich dargestellt wird, was Helligkeit, Lichtstärke, Lichtstrom und diverse weitere Größen eigentlich sind und je nach Fach und Lehrer diese Größen auch nicht immer ganz korrekt verwendet werden, will ich mich in der nächsten Zeit unter anderem mit der Messung und Beschreibung von Licht beschäftigen.
Hier sind wie üblich die einzelnen Beiträge verlinkt:
Darstellungen der Mandelbrotmenge (auch „Apfelmännchen“ genannt) sind mit das Schönste was die Mathematik zu bieten hat. Nachdem ich vor kurzem schon die mathematischen Grundlagen (.pdf-Datei) erklärt habe, will ich mich hier der Programmierung eines einfachen Java-Applets zur Anzeige des „Apfelmännchens“ widmen. Sowohl den vollständigen Programmcode als auch das eingebettete Applet finden Sie unten.
Wer weniger an der Technik als vielmehr am Herumspielen mit der Mandelbrotmenge interessiert ist, dem kann ich mein aufwändigeres Applet u.a. mit Zoomfunktion empfehlen.
An Mathematik brauchen wir nur die beiden Formeln (1) und (2) aus der Erklärung, die wir wie in der .pdf Datei unter „Wie kann ich das programmieren“ beschrieben berechnen. Hier sind die hier wesentlichen Abschnitte noch einmal als Auszug:
Die Formeln:
xn+1 = xn2 – y n2 + a
yn+1 = 2xnyn + bDies lässt sich nun ohne Kenntnis von komplexen Zahlen berechnen, wenn a und b bekannt sind (x0 = y0 = 0).
Die Beschreibung:
Um die Mandelbrot-Menge darstellen zu können, berechnet man für jeden Punkt des Bildes die Folge mit seinen Koordinaten a (üblicherweise nach rechts) und b (nach oben) entsprechend den Gleichungen oben. Dazu setzt man eine maximale Anzahl an Iterationen (das heißt Anzahl an Folgengliedern die berechnet werden) und prüft nach jeder Iteration ob x2+y2>4 ist. Falls ja, ist der Punkt mit den Koordinaten a und b definitiv nicht Teil der Mandelbrot-Menge. Wenn diese Bedingung nach einer bestimmten Anzahl an Iterationen noch nicht erfüllt ist, kann man mit hoher Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass er Teil der Mandelbrot-Menge ist (je höher die Anzahl der Iterationen desto sicherer das Ergebnis). Die Punkte, die zur Mandelbrot-Menge gehören, werden dann (meist schwarz) eingefärbt.
Dabei muss man aufpassen, dass man bei der Berechnung des zweiten Terms nicht schon mit dem neuen Ergebnis aus der ersten Berechnung arbeitet. Umgesetzt in Java sieht die Funktion zur Berechnung, ob ein Punkt (wahrscheinlich) zur Mandelbrotmenge gehört dann folgendermaßen aus:
Continue reading ‘Mandelbrotmenge einfach selbst programmiert’
Ich hatte vor diesem Blog bereits ein kleineres Blog, das noch mehr experimentellen Charakter hatte, auf WordPress.com. Nachdem ich nun sowohl hier (WordPress auf gemietetem Webspace) als auch auf WordPress.com einige Monate Erfahrung habe, sind hier meine Erfahrungen mit beiden Varianten:
Blogs auf WordPress.com sind zunächst kostenlos. Der Dienst finanziert über zubuchbare Zusatzangebote (siehe auch „Einrichten und Layout“) und gelegentlich eingeblendete Werbung für nicht angemeldete Besucher der Blogs.
Ein Blog, das auf gemietetem Webspace läuft, kostet in aller Regel Geld. Bei verschiedenen Anbietern gibt es entsprechende Angebote mit monatlichen Kosten im einstelligen Eurobereich, die PHP mit allen nötigen Modulen, entsprechende Datenbanken u.s.w. bereitstellen. Mit meinem Hoster gab es bisher keinerlei Probleme, das heißt die WordPress-Installation lief einwandfrei ab und die Verfügbarkeit war bisher nie ein Problem.
Auf WordPress.com stehen alle wesentlichen Standardfunktionen von WordPress zur Verfügung und man kann aus einer großen Auswahl an Themes wählen. Individuelle Themes und Plug-Ins oder das Anpassen von .css-Dateien sind nicht beziehungsweise nur gegen Aufpreis möglich. Man kann auch eine eigene Domain (die wiederum Geld kostet) mit einem WordPress.com-Blog verknüpfen.
Im selbstbetriebenen Blog müssen einige sinnvolle Funktionen selbst zusammengesucht werden (Themes und Plug-Ins). Dafür sind der Individualisierung praktisch nur durch die eigenen Fähigkeiten (vor allem in CSS und PHP) Grenzen gesetzt, wobei es für die wichtigsten Aufgaben eine ganze Reihe guter kostenloser und regelmäßig aktualisierter Plug-Ins im Netz gibt.
Ohne Benutzer macht eine Website wenig Sinn … WordPress.com bietet nur elementare Funktionen zur Suchmaschinenoptimierung (z.B. eine Sitemap.xml die nicht beeinflusst werden kann), die Meta-Descriptions selbst festzulegen ist jedoch beispielsweise nicht möglich. Ein Vorteil der WordPress.com-Plattform ist jedoch die interne Verlinkung über die WordPress.com-Suche und systemweite Tag-Seiten, über die gerade auch neue und wenig besuchte Blogs zusätzliche Benutzer bekommen.
Im Gegensatz dazu hat man auf dem eigenen Webspace oder Server die Wahl zwischen einer großen Zahl an Plug-Ins, die jeder so zusammen stellen kann, wie es ihm sinnvoll erscheint. Allerdings wird man sich dann was die Besucher angeht zu einem großen Teil auf Google und Co. verlassen müssen.
Auffällig im WordPress.com-Blog war, dass bereits bei relativ wenigen Benutzern vergleichsweise viele Kommentare zustande kamen. Dazu haben vor allem die Betreiber anderer Blogs auf der selben Plattform beigetragen. Benutzer die über normale Suchmaschinen kommen, kommentieren im Vergleich dazu wohl eher ungern.
Gelegentlich tauchen auch in WordPress oder dessen Plug-Ins Sicherheitslücken auf. Auf WordPress.com merkt man von den nötigen Updates wenig, während man auf seinem eigenen WordPress-System regelmäßig überprüfen muss, ob Updates zur Verfügung stehen, um keine Einfallstore für Hacker offen zu halten (gefundene Updates lassen sich in der Regel weitgehend automatisiert einspielen). Auch um regelmäßige Backups von Dateien und Datenbank muss man sich selbst kümmern (sofern der Hoster das nicht übernimmt). Damit bedeutet ein self-hosted WordPress gerade für Gelegenheitsblogger deutlich mehr Arbeit und erfordert die Disziplin regelmäßig die Verfügbarkeit von Updates zu überprüfen.
Die als „Apfelmännchen“ bekannte Mandelbrot-Menge ist wahrscheinlich eines der schönsten Fraktale überhaupt. Die Berechnung, die zum Apfelmännchen führt, enthält jedoch komplexe Zahlen und ist deshalb normalerweise für Nichtmathematiker – insbesondere auch für Schüler – nicht nachvollziehbar.
Zoom in eigener Berechnung
Ich hoffe jedoch, dass sich mit solchen, für jedermann schön anzusehenden Fraktalen, auch die Begeisterung für Mathematik wecken lässt. Deshalb habe ich versucht eine, für interessierte Schüler schon in der Mittelstufe verständliche, Einführung zu verfassen. Sie sollte zum Einen als kleine Ergänzung des Schulstoffs im Mathematikunterricht geeignet sein, zum Anderen beschreibt sie aber auch, mit welchen Mitteln die Mandelbrot-Menge berechnet und dargestellt werden kann, ganz ohne dass man sich komplexen Zahlen beschäftigen muss. Damit kann man sich beispielsweise im Informatikunterricht ganz auf den Programmaufbau und das Programmieren konzentrieren.
Der Text ist in mehrere Abschnitte unterteilt: Nach einer kurzen Erklärung der imaginären Einheit wird die Definition der Mandelbrot-Menge angegeben und so umgeformt, dass alles mit reellen Zahlen berechnet werden kann. Dann wird erklärt, wie sich das alles in einem Programm umsetzen lässt (hier gibt es noch eine ausführlichere Erklärung mit Quellcode und lauffähigem Java-Applet). Abschließend gibt es noch Anregungen, welche Verbesserungen am Programm noch vorgenommen werden könnten. Und für alle diejenigen, die die Tiefen der Mandelbrot-Menge einfach selbst erkunden wollen, gibt es von mir noch ein entsprechendes Programm, das im Browser läuft.
Die Erklärung des Apfelmännchens für Schüler kann hier als .pdf-Datei heruntergeladen werden.
Komplette Mandelbrotmenge
Die Mandelbrot-Menge ist ein Fraktal, das oft als das formenreichste geometrische Gebilde überhaupt bezeichnet wird. In die Randbereiche einer Darstellung dieser Menge (oft als „Apfelmännchen“ bezeichnet) kann man beliebig weit hinein zoomen und immer wieder neue, feinere Muster erkennen.
Da auf aktuellen Computern solche Bilder in Sekundenschnelle berechnet werden können, kann auch jeder selbst Fraktale erkunden oder sich mit den mathematischen Grundlagen dieser Gebilde auseinandersetzen.
Randbereich des Apfelmännchens
In der nächsten Zeit möchte ich zu diesem Thema verschiedene Beiträge verfassen, und hoffe, dass ich damit insbesondere Interessierte ohne besondere Fachkenntnisse auf diesem Gebiet für dieses und andere Fraktale begeistern kann.
Meine Beiträge zum Thema:
